Miguel Campercholi, 2016-04-20: “Subálgebras épicas y funciones primitvas positivas”

Next Wednesday M. Campercholi (CIEM-FaMAF) will give us a talk that addresses the problem of characterizing epimorphisms in classes of algebras.

Título: Subálgebras épicas y funciones primitvas positivas

Resumen: Sean $\mathbf{A}\leq\mathbf{B}$ álgebras y $\mathcal{K}$ una clase. Diremos que $\mathbf{A}$ es una subálgebra épica de $\mathbf{B}$ en $\mathcal{K}$ si para cada par de homomorfismos $h,h’:\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{C}$, con $\mathbf{C}\in\mathcal{K}$, y tales que $h$ y $h’$ coniciden en $A$, se tiene que $h=h’$. Por ejemplo, las dos subcadenas de 3 elementos del reticulado $\mathbf{2}\times\mathbf{2}$ son subálgebras épicas de $\mathbf{2}\times\mathbf{2}$ en la clase de los reticulados distributivos. El siguiente resultado caracteriza las subálgebras épicas en términos algebraicos. Recordamos que una fórmula se dice primitiva positiva (p.p.) si es de la forma $\exists\bigwedge p=q$.

Teorema. Sean $\mathcal{K}$ cerrada por ultraproductos y $\mathbf{A}\leq\mathbf{B}$ álgebras. Son equivalentes:

  • $\mathbf{A}$ es subálgebra épica de $\mathbf{B}$ en $\mathcal{K}$.
  • Para cada $b\in B$ hay una fórmula p.p. $\phi(\bar{x},y)$, y $\bar{a}$ elementos de A tales que:
    • $\mathbf{B}\vDash\phi(\bar{a},b)$.
    • $\mathbf{B}\vDash\forall\bar{x},y,y’ \phi(\bar{x},y)\wedge\phi(\bar{x},y’) \rightarrow y=y’$.

Es decir, $\mathbf{A}$ es subálgebra épica de $\mathbf{B}$ en $\mathcal{K}$ sii $\mathbf{B}$ es “generada” por $A$ mediante funciones (parciales) p.p. definibles. Veremos algunas aplicaciones de este teorema.


Next speaker: Miguel Pagano (FaMAF-UNC).

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